OEIS（http://oeis.org/）で約数の個数に関する整数列を整理する。
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約数の個数とオイラーのφ関数
A5（約数の個数）とA10（オイラーのφ関数）を色々な所で見かける。まずはこの２つの整数列を見てみる。
A5（約数の個数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A5(n) | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 | ... |
数列（offset=1）は 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8, ... と続く。
定義
約数の個数。すなわち、1以上n以下の整数の内、nを割り切るような数の個数。
例えば n=6 の約数は {1, 2, 3, 6} であるため、A5(6)=4。この例の場合、1と6が含まれること、4が含まれないことに、注意。
この関数は d(n)や、τ(n)、あるいは σ0(n) と書かれることがある。σx(n) は、約数関数と呼ばれる関数の集合である。Wikipedia 約数関数に説明がある（図１）。
上の図１中にも記載があるが、σ1（約数の総和の関数）を指して約数関数と呼んだり、σ(n)と書いたりする場合がある。
例
| n | A5(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1の約数は、1のみ |
| 2 | 2 | 1, 2の内、2の約数は{1, 2}の2つ |
| 3 | 2 | 1,2,3の内、3の約数は{1, 3}の2つ |
| 4 | 3 | 1,2,3,4の内、4の約数は{1,2,4}の3つ |
| 5 | 2 | 1,2,3,4,5の内、5の約数は{1, 5}の2つ |
| 6 | 4 | 1,2,3,4,5,6の内、6の約数は{1,2,3,6}の4つ |
| 7 | 2 | 1,2,...7の内、7の約数は{1,7}の2つ |
| 8 | 4 | 1,2,...8の内、8の約数は{1,2,4,8}の4つ |
| 9 | 3 | 1,2,...9の内、9の約数は{1,3,9}の3つ |
| 10 | 4 | 1,2,...10の内、10の約数は{1, 2, 5, 10}の4つ |
| 11 | 2 | 1,2,...11の内、11の約数は{1, 11}の2つ |
| 12 | 6 | 1,2,...12の内、12の約数は{1, 2, 3, 4, 6, 12}の6つ |
A10（オイラーのφ関数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A10(n) | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 | 4 | ... |
数列（offset=1）は 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44, ... と続く。
定義
1以上n以下の整数の内、nと共通因子を持たない数の個数。
例えば、n=6 と共通因子を持たない数は {1, 5} であるため、A10(6)=2。この例の場合、1が含まれること、6が含まれないことに、注意。
オイラーのφ関数、オイラーのトーシェント関数と呼ばれる。Wikipedia オイラーのφ関数に記載がある。
例
| n | A10(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1のみ（1は、1と互いに素） |
| 2 | 1 | 1,2の内、2と互いに素な数は1のみ |
| 3 | 2 | 1,2,3の内、3と互いに素な数は{1,2}の2つ |
| 4 | 2 | 1,2,3,4の内、4と互いに素な数は{1,3}の2つ |
| 5 | 4 | 1,2,3,4,5の内、5と互いに素な数は{1,2,3,4}の4つ |
| 6 | 2 | 1,2,3,4,5,6の内、6と互いに素な数は{1,5}の2つ |
| 7 | 6 | 1,2,...7の内、7と互いに素な数は{1,2,3,4,5,6}の6つ |
| 8 | 4 | 1,2,...8の内、8と互いに素な数は{1,3,5,7}の4つ |
| 9 | 6 | 1,2,...9の内、9と互いに素な数は{1,2,4,5,7,8}の6つ |
| 10 | 4 | 1,2,...10の内、10と互いに素な数は{1, 3, 7, 9}の4つ |
| 11 | 10 | 1,2,...11の内、11と互いに素な数は{1, 2, 3, ..., 10}の10個 |
| 12 | 4 | 1,2,...12の内、12と互いに素な数は{1, 5, 7, 11}の4つ |
A5とA10の関係
A5（約数の個数）とA10（オイラーのφ関数）の関係を少し整理しておく。
n=12 の時、計上する対象は、A5とA12で、それぞれ下表の通りになる。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| A5(12) | 〇 | 〇 | 〇 | 〇 | ー | 〇 | ー | ー | ー | ー | ー | 〇 |
| A10(12) | 〇 | ー | ー | ー | 〇 | ー | 〇 | ー | ー | ー | 〇 | ー |
両者は（いくらか）相補的である。1 のみが重複して計上され、それ以外に交わりはない。8, 9, 10 の３つの数は、どちらにも含まれない。
約数の個数とオイラーのφ関数に関連する整数列
A49820（約数でない数の個数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A49820(n) | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 2 | 5 | 4 | 6 | 6 | 9 | 6 | ... |
数列（offset=1）は、0, 0, 1, 1, 3, 2, 5, 4, 6, 6, 9, 6, 11, 10, 11, 11, 15, 12, 17, 14, 17, 18, 21, 16, 22, 22, 23, 22, 27, 22, 29, 26, 29, 30, 31, 27, 35, 34, 35, 32, 39, 34, 41, 38, 39, 42, 45, 38, 46, 44, 47, 46, 51, 46, 51, 48, 53, 54, 57, 48, 59, 58, 57, 57, 61, 58, 65, ...と続く。
定義
1以上n以下の整数の内、nを割り切らないような数の個数。
例
| n | A49820(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1以上1以下の数で1を割り切らないような数は存在しないため、0 |
| 2 | 0 | 1,2は、ともに、2を割り切るため、0 |
| 3 | 1 | 1,2,3の内、3を割り切らないのは、{2}の1つ |
| 4 | 1 | 1,2,3,4の内、4を割り切らないのは、{3}の1つ |
| 5 | 3 | 1,2,3,4,5の内、5を割り切らないのは、{2,3,4}の3つ |
| 6 | 2 | 1,2,3,4,5,6の内、6を割り切らないのは、{4,5}の2つ |
| 7 | 5 | 1,2,...7の内、7を割り切らないのは、{2,3,4,5,6}の5つ |
| 8 | 4 | 1,2,...8の内、8を割り切らないのは、{3,5,6,7}の4つ |
| 9 | 6 | 1,2,...9の内、9を割り切らないのは、{2,4,5,6,7,8}の6つ |
| 10 | 6 | 1,2,...10の内、10を割り切らないのは、{3,4,6,7,8,9}の6つ |
| 11 | 9 | 1,2,...11の内、11を割り切らないのは、{2,3,...10}の9つ |
| 12 | 6 | 1,2,...12の内、12を割り切らないのは、{5,7,8,9,10,11}の6つ |
関係
A5（約数の個数）と相補的、すなわち、
A49820(n) = n - A5(n)
表で確認。
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A5(n) | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 | ... |
| A49820(n) | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 2 | 5 | 4 | 6 | 6 | 9 | 6 | ... |
A1227（奇数の約数の個数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A1227(n) | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 2 | ... |
数列（offset=1）は、1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 4, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 1, 4, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 3, 2, 2, 6, 2, 4, 4, 2, 2, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 6, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 2, 3, 6, 3, 2, 4, 2, 2, 8, ...と続く。
定義
奇数の約数の個数
例
| n | A1227(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1の奇数の約数は、1のみ |
| 2 | 1 | 1, 2の内、2の奇数の約数は1のみ |
| 3 | 2 | 1,2,3の内、3の奇数の約数は{1, 3}の2つ |
| 4 | 1 | 1,2,3,4の内、4の奇数の約数は1のみ |
| 5 | 2 | 1,2,3,4,5の内、5の奇数の約数は{1, 5}の2つ |
| 6 | 2 | 1,2,3,4,5,6の内、6の奇数の約数は{1,3}の2つ |
| 7 | 2 | 1,2,...7の内、7の奇数の約数は{1,7}の2つ |
| 8 | 1 | 1,2,...8の内、8の奇数の約数は1のみ |
| 9 | 3 | 1,2,...9の内、9の奇数の約数は{1,3,9}の3つ |
| 10 | 2 | 1,2,...10の内、10の奇数の約数は{1, 5}の2つ |
| 11 | 2 | 1,2,...11の内、11の奇数の約数は{1, 11}の2つ |
| 12 | 2 | 1,2,...12の内、12の奇数の約数は{1, 3}の2つ |
A183063（偶数の約数の個数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A183063(n) | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 3 | 0 | 2 | 0 | 4 | ... |
数列（offset=1）は、0, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 4, 0, 2, 0, 4, 0, 3, 0, 4, 0, 2, 0, 6, 0, 2, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 2, 0, 6, 0, 4, 0, 4, 0, 2, 0, 8, 0, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 6, 0, 2, 0, 8, 0, 2, 0, 6, 0, 4, 0, 4, 0, 4, 0, 9, 0, 2, 0, 4, 0, 4, 0, 8, 0, 2, 0, 8, 0, 2, ...と続く。
定義
偶数の約数の個数。
例
| n | A183063(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1の偶数の約数は存在しない |
| 2 | 1 | 1, 2の内、2の偶数の約数は2のみ |
| 3 | 0 | 1,2,3の内、3の偶数の約数は存在しない |
| 4 | 2 | 1,2,3,4の内、4の偶数の約数は{2,4}の2つ |
| 5 | 0 | 1,2,3,4,5の内、5の偶数の約数は存在しない |
| 6 | 2 | 1,2,3,4,5,6の内、6の偶数の約数は{2,6}の2つ |
| 7 | 0 | 1,2,...7の内、7の偶数の約数は存在しない |
| 8 | 3 | 1,2,...8の内、8の偶数の約数は{2,4,8}の3つ |
| 9 | 0 | 1,2,...9の内、9の偶数の約数は存在しない |
| 10 | 2 | 1,2,...10の内、10の偶数の約数は{2,10}の2つ |
| 11 | 0 | 1,2,...11の内、11の偶数の約数は存在しない |
| 12 | 4 | 1,2,...12の内、12の偶数の約数は{2,4,6,12}の4つ |
関係
奇数のnに対しては常にA183063(n)=0。
偶数のn=2kに対しては、A183063(2k)=A5(k)。
ここで、A5は約数の個数。
A5(n) =A1227(n) + A183063(n)
（約数の個数）=（奇数の約数の個数）+（偶数の約数の個数）
A1221（素数の約数の個数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A1221(n) | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | ... |
数列（offset=1）は、0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 3, 2, ...と続く。
定義
素数である約数の個数。すなわち、1以上n以下の整数の内、nを割り切り、かつ、素数であるような数の、個数。
ω(n)と書かれる。
例
| n | A1221(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1の素数の約数は存在しない |
| 2 | 1 | 1, 2の内、2の素数の約数は2のみ |
| 3 | 1 | 1,2,3の内、3の素数の約数は3のみ |
| 4 | 1 | 1,2,3,4の内、4の素数の約数は2のみ |
| 5 | 1 | 1,2,3,4,5の内、5の素数の約数は5のみ |
| 6 | 2 | 1,2,3,4,5,6の内、6の素数の約数は{2,3}の2つ |
| 7 | 1 | 1,2,...7の内、7の素数の約数は7のみ |
| 8 | 1 | 1,2,...8の内、8の素数の約数は2のみ |
| 9 | 1 | 1,2,...9の内、9の素数の約数は3のみ |
| 10 | 2 | 1,2,...10の内、10の素数の約数は{2,5}の2つ |
| 11 | 1 | 1,2,...11の内、11の素数の約数は11のみ |
| 12 | 2 | 1,2,...12の内、12の素数の約数は{2,3}の2つ |
A20639（最小の約数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A20639(n) | 1 | 2 | 3 | 2 | 5 | 2 | 7 | 2 | 3 | 2 | 11 | 2 | ... |
数列（offset=1）は、1, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 11, 2, 13, 2, 3, 2, 17, 2, 19, 2, 3, 2, 23, 2, 5, 2, 3, 2, 29, 2, 31, 2, 3, 2, 5, 2, 37, 2, 3, 2, 41, 2, 43, 2, 3, 2, 47, 2, 7, 2, 3, 2, 53, 2, 5, 2, 3, 2, 59, 2, 61, 2, 3, 2, 5, 2, 67, 2, 3, 2, 71, 2, 73, 2, 3, 2, 7, 2, 79, 2, 3, 2, 83, 2, 5, 2, 3, 2, 89, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 97, ... と続く。
定義
A20639(n)は、nの最小の約数。Lpf(n)とも書く。
A6530（最大の素数約数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A6530(n) | 1 | 2 | 3 | 2 | 5 | 3 | 7 | 2 | 3 | 5 | 11 | 3 | ... |
数列（offset=1）は、1, 2, 3, 2, 5, 3, 7, 2, 3, 5, 11, 3, 13, 7, 5, 2, 17, 3, 19, 5, 7, 11, 23, 3, 5, 13, 3, 7, 29, 5, 31, 2, 11, 17, 7, 3, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 5, 23, 47, 3, 7, 5, 17, 13, 53, 3, 11, 7, 19, 29, 59, 5, 61, 31, 7, 2, 13, 11, 67, 17, 23, 7, 71, 3, 73, 37, 5, 19, 11, 13, 79, 5, 3, 41, 83, 7, 17, 43, ...と続く。
定義
A6530(n)は、nの最大の素数約数。
A14197（オイラーのφ関数の逆の解の数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A14197(n) | 2 | 3 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 5 | 0 | 2 | 0 | 6 | ... |
数列（offset=1）は、2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 10, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3, ...と続く
定義
オイラーのφ関数（A10）の値がnとなるような解m（つまり、A10(m)=n）の個数。すなわち、A14197(n)=|{m|A10(m)=n}|。
この関数はTotient Valence Functionと呼ばれているようだ（Totient Valence Function -- from Wolfram MathWorldより）。
例
いくつかのnに対する解を下表に挙げるが、これらが全ての解であることを確認することは、私にはできていない。下界と上界を作って全探索で示せそうだが、難しそうである。
| n | A14197(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | φ(m)=1となるmは、{1, 2}の2つ |
| 2 | 3 | φ(m)=2となるmは、{3,4,6}の3つ |
| 3 | 0 | φ(m)=3となるmは、存在しない |
| 4 | 4 | φ(m)=4となるmは、{5,8,10,12}の4つ |
| 5 | 0 | φ(m)=5となるmは、存在しない |
| 6 | 4 | φ(m)=6となるmは、{7,9,14,18}の4つ |
| 7 | 0 | φ(m)=7となるmは、存在しない |
| 8 | 5 | φ(m)=8となるmは、{15,16,20,24,30}の5つ |
| 9 | 0 | φ(m)=9となるmは、存在しない |
| 10 | 2 | φ(m)=10となるmは、{11,22}の2つ |
| 11 | 0 | φ(m)=11となるmは、存在しない |
| 12 | 6 | φ(m)=12となるmは、{13,21,26,28,36,42}の6つ |
上表の解は、Totient Answers For The First 1000 Integersを参考にした。
下図は参考図。青がオイラーのφ関数で、赤がその反転。(1, 1)だけ赤と青が重なる。縦列にある赤いマスの個数がA14197。
A97942（高度トーシェント数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A97942(n) | 1 | 2 | 4 | 8 | 12 | 24 | 48 | 72 | 144 | 240 | 432 | 480 | ... |
数列（offset=1）は、1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440, 2880, 4320, 5760, 8640, 11520, 17280, 25920, 30240, 34560, 40320, 51840, 60480, 69120, 80640, 103680, 120960, 161280, 181440, 207360, 241920, 362880, 483840, 725760, 967680, ...と続く。
定義
A97942は、次の条件を満たす数nを昇順に並べた数列。
- 任意のk<nについて、A14197(k)<A14197(n)
A14197を小さいnから順番に見ていった時に、最大値の記録が更新されるようなnのリスト、ということ。
A14197は、オイラーのφ関数（A10）の逆問題の解の数（逆関数の価数）。
例
A14197(n)で確認。
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A14197(n) | 2 | 3 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 5 | 0 | 2 | 0 | 6 | ... |
表の値を左から見ていくと、n=1,2,4,8,12で、最大値の記録が更新されている。
A5277（nontotient）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A5277(n) | 14 | 26 | 34 | 38 | 50 | 62 | 68 | 74 | 76 | 86 | 90 | 94 | ... |
数列（offset=1）は、14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, 302, 304, 308, 314, 318, ...と続く。
定義
A5277は、A10(・)=nを満たす解が存在しないような偶数のnを、昇順に並べた数列。
ここで、A10()はオイラーのφ関数。
メビウス関数と無平方数
素因数分解に関連して、メビウス関数というのもよく見かけるので、併せて整理しておく。
A8683（メビウス関数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A8683(n) | 1 | -1 | -1 | 0 | -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ... |
数列（offset=1）は、1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, -1, ...と続く。
定義
メビウス関数。μ(n)と書かれる。Wikipedia メビウス関数に記載の定義を図２に載せる。
例えば、n=2・3・5 のように、素因数分解したときに各素数が一つずつなら、素因数の個数の偶奇に応じて、±1の値をとる（この場合は奇数個なので-1）。一方で、n=3・72・113 のように、どれかの素因数の冪が2以上であるなら、0になる。
例
| n | A8683(n) | 説明 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 定義より、1 |
| 2 | -1 | 素因数が奇数個（2のみ）なので、-1 |
| 3 | -1 | 素因数が奇数個（3のみ）なので、-1 |
| 4 | 0 | 4=22で、冪が2以上の素因数を含むため、0 |
| 5 | -1 | 素因数が奇数個（5のみ）なので、-1 |
| 6 | 1 | 素因数が偶数個（{2, 3}の2個）なので、1 |
| 7 | -1 | 素因数が奇数個（7のみ）なので、-1 |
| 8 | 0 | 8=23で、冪が2以上の素因数を含むため、0 |
| 9 | 0 | 9=32で、冪が2以上の素因数を含むため、0 |
| 10 | 1 | 素因数が偶数個（{2, 5}の2個）なので、1 |
| 11 | -1 | 素因数が奇数個（11のみ）なので、-1 |
| 12 | 0 | 12=22・3で、冪が2以上の素因数を含むため、0 |
https://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html
A5117（無平方数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A5117(n) | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 13 | 14 | 15 | 17 | ... |
数列（offset=1）は、1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113, ...と続く。
定義
A5117は、どんな平方数（≠1）でも割り切れないような数を、昇順に並べた数列。
英語では、squarefree numbers という。
例
| 候補 | 判定 | 説明 |
|---|---|---|
| 4 | 無平方数でない | 4は、22であり、平方数である4=22によって割り切れる |
| 5 | 無平方数 | 5は、5であり、どんな平方数（≠1）でも割り切れない |
| 6 | 無平方数 | 6は、2×3であり、どんな平方数（≠1）でも割り切れない |
| 8 | 無平方数でない | 8は、23であり、平方数である4=22で割り切れる |
| 18 | 無平方数でない | 18は、2×32であり、平方数である9=32で割り切れる |
A8966（無平方数の特性関数）
定義
A8966(n)は、nが無平方数の時に1に、そうでない時に0である。
A13029（無平方数でない数）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A13029(n) | 4 | 8 | 9 | 12 | 16 | 18 | 20 | 24 | 25 | 27 | 28 | 32 | ... |
数列（offset=1）は、4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 68, 72, 75, 76, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 104, 108, 112, 116, 117, 120, 121, 124, 125, 126, 128, 132, 135, 136, 140, 144, 147, 148, 150, 152, 153, 156, 160, ... と続く。
定義
無平方数でない数。すなわち、（少なくとも一つの）平方数（≠1）で割り切れるような数。
二重否定のような書き方だが、「平方数」とは異なるものであることに注意。
英語では、non-squarefree numbers、または、squareful numbers と呼ぶ。
例
| 候補 | 判定 | 説明 |
|---|---|---|
| 4 | 無平方数でない | 4は、22であり、平方数である4=22によって割り切れる |
| 5 | 無平方数 | 5は、5であり、どんな平方数（≠1）でも割り切れない |
| 6 | 無平方数 | 6は、2×3であり、どんな平方数（≠1）でも割り切れない |
| 8 | 無平方数でない | 8は、23であり、平方数である4=22で割り切れる |
| 18 | 無平方数でない | 18は、2×32であり、平方数である9=32で割り切れる |
A30059（奇数個の相異なる素数の積）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A30059(n) | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 30 | 31 | ... |
数列（offset=1）は、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, 53, 59, 61, 66, 67, 70, 71, 73, 78, 79, 83, 89, 97, 101, 102, 103, 105, 107, 109, 110, 113, 114, 127, 130, 131, 137, 138, 139, 149, 151, 154, 157, 163, 165, 167, 170, 173, 174, 179, 181, 182, 186, 190, 191, 193, ...と続く。
定義
奇数個の相異なる素数の積。
最初の方を見るとまるで素数のようだが、異なるものであることに注意。
例
リストに含まれる：
- 7
- 30=2・3・5
- 42=2・3・7
リストに含まれない：
- 1
- 6=2・3
- 12=22・3
- 25=52
- 27=33
- 210=2・3・5・7
A30229（偶数個の相異なる素数の積）
データ
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A30229(n) | 1 | 6 | 10 | 14 | 15 | 21 | 22 | 26 | 33 | 34 | 35 | 38 | ... |
数列（offset=1）は、1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 210, 213, 214, ...と続く。
定義
偶数個の相異なる素数の積。
例
リストに含まれる：
- 1
- 6=2・3
- 210=2・3・5・7
リストに含まれない：
- 7
- 12=22・3
- 25=52
- 27=33
- 30=2・3・5
- 42=2・3・7
