私を数えるような話

以前（https://twitter.com/pzosdc/status/1339173378054258689）Aperture Scienceのロゴについて考えていた際に、次のような問題を思いついた。

図1(a)のような構造を考えたい。この構造の場合、3つの曲線から構成されている。ポイントは、交点がすべてT字路であることである。

列挙はなかなか楽しい。

数え上げる方法はいろいろと考えられる。例えば、交点を先に用意しておいて、つなぎ方を列挙する方法がある。

結び目の数え上げでも使われる方法である。結び目において交点の数が一つの重要な要素になるのと同じように、T字構造でも交点の数というのは重要である。

他のアプローチもある。まず次数3のノードを持つ構造を作ってから、ノードをT字路に変換する方法である（図3）。

こちらの方が感覚としては扱いやすい。

上の2つのアプローチでは、ループができる場合や、連結でなくなる場合を区別しにくい。 T字構造の数え上げでは、真部分集合にT字構造を持たない、というのが一つの興味深い問題設定である。この問題設定に関しても、上記の2つのアプローチでは扱いにくいように思う。検討の余地がある。

ところで、私は以前から、下図のようなアイコンを使っている。

これはT字構造の部分構造になっていることがわかる。端点がある構造も興味深い。線を一本増やす作用素や、逆に一本減らす作用素、というのを考えると、視野を広げた数え上げが効果を発揮するだろう。このあたりの話もいずれ記事に書きたい。